Es scheint so, dass es irgendwie mit am Bildschirmschoner im Kodi liegt, bzw. lag, weil es cheint, dass ich das (selbst verursachte?) Problem lösen konnte.
Eigentlich ging der direkt nach 3 Minuten an, hat also in den abgedunkelten Zustand gewechselt und ein paar Minuten später ist der Bildschirm schwarz geworden, aber die Musik lief noch weiter. Nach 15 Minuten sah es dann aber so aus, dass Kodi bzw. Windows kein Signal mehr geschickt hat, weil der Fernsehen die Info angezeigt hat, dass über den HDMI Port nichts mehr ankommt. Der Rechner war aber noch an und nicht im Standby (oder ähnliches). Ich musste dann etwas mit der Maus wackeln und schon war das Bild wieder da und die Musik lief weiter.
Ich habe dann nochmal die Bildschirmschoner Einstellungen im Kodi geprüft und gesehen, dass ich die Einstellung "Bei Musikwiedergabe die Visualisierung verwenden" deaktiviert hatte.
Ich habe sie jetzt aktiviert und seit 30 Minuten läuft die Musik ohne Unterbrechung. Ich verstehe zwar noch nicht, wieso diese Einstellung so eine Wirkung hervorrufen kann, aber mit der Lösung kann ich erstmal leben