Hey Quill,
ich hatte das gleiche Problem wie Du und hatte gehofft, hier eine Lösung angeboten zu bekommen. Gestern habe ich sie selbst gefunden und habe mich eben mal schnell hier angemeldet, um sie Dir mit Dir zu teilen. Ich weiß, wie nervig das Problem ist. 
Die Ursache kann ich auch nicht ausmachen, ich vermute aber mal ein stilles Update des Betriebssystems auf dem FireTV. Denn von jetzt auf gleich spielte Kodi keine Filmdatei mehr ab, auch keine, die nachweislich schon liefen. Die Synology konnte ich als Fehlerquelle ausschließen, das Streamen über den BluRay-Player funktionierte. Ich hatte dann also eine neue Kodi-Version aufgespielt, allerdings behob es das Problem nicht. Und ich weiß jetzt auch warum: Die Version war für Android 5.0 gedacht, ließ sich problemlos installieren und auch bedienen, aber spielte eben nichts ab. Nachdem ich das begriffen habe, habe ich noch ein bisschen recherchiert und bin dann auf die korrekte Version gestoßen, die ich dann auch gleich installiert habe: ARMv7A (32bit) Mit der läuft wieder alles, wie es sich gehört. Ich musste zwar alle Konfigurationen wiederholen, weil ich Kodi vorher deinstalliert hatte, aber das ist ja das kleinste Übel.
Sorry, dass ich mich hier so ausgekäst habe, aber ich freue mich gerade so, dass das Problem Geschichte ist. Ich hoffe, es hilft Dir auch und wünsche Dir viel Spaß beim Streamen.