Hallo zusammen,
erstmal vielen Dank für die Entwicklung des Addons! Ich habe schon länger danach gesucht und hoffe dass insbesondere die eigenen Playlisten bald kommen, das wäre echt spitze 
Da ich auch etwas beitragen möchte, hier mein Problem und Lösung dazu:
Als ich die Login-Daten eingegeben habe, kam immer zum zweiten Mal die Aufforderung selbige einzugeben und danach kam der Fehler, dass ich entweder nicht eingeloggt bin oder nicht Prime Music habe. Im Log tauchte rein gar nichts auf was auf einen Fehler schließen ließe.
Da ich nicht ganz unbedarft bin, habe ich in die Sourcen reingeschaut und den content der Login-Antwort ausgeben lassen und siehe da - Amazon schaltete bei mir eine Seite vor, wo ich mein Passwort ein zweites Mal hätte bestätigen sollen sowie ein captcha ausfüllen. Das kann das Addon natürlich alles nicht und somit ist es daran gescheitert, die Daten aus dem Response zu holen.
Kurz gegrübelt, weshalb Amazon wohl denkt, es müsse eine Schutzfunktion aktivieren und ich kam auf den User-Agent, der in der default.py recht weit oben gesetzt ist. Habe diesen durch den den mein PC-Browser sendet (http://whatsmyuseragent.com/) ausgetauscht und siehe da - es geht!
Wie man das im Addon abfangen kann, weiß ich leider nicht, aber falls jemand über das gleiche Problem stolpert und weiß wie er die Datei bearbeiten kann, vielleicht hilft das ja.
Die default.py liegt im addon-verzeichnis: .kodi\addons\plugin.audio.prime_music
Nach dem Login scheint es kein Problem, den alten User Agent einzutragen, d.h. Updates des Addons sind kein Problem bis zum nächsten nötigen Login.